Definiție1.1.1: Fie M o mulţime nevidă. O aplicaţie φ: MxM →M, (x,y) → φ(x,y) se numeşte lege de compoziţie (internă) sau operaţie algebrică binară pe mulţimea M. Elementul φ(x,y) din M se numeşte compusul lui x cu y prin φ.

Observații:

ž  O1. Pentru a referi convențional o lege de compoziţie pe MxM, se poate utiliza un anumit simbol. De cele mai multe ori se utilizează simboluri clasice cum ar fi + sau *. Putem alege și alte simboluri mai generice cum ar fi: T, /, v etc.

ž  O2. Dacă notăm cu T legea de compoziţie, rezultatul operării lui x și y ĩl vom nota cu xTy și interpretăm ca “ x compus cu y”.

Exemple de legi de compoziție interne:

1. Adunarea numerelor pe N, Z, Q, R                     

2. Ĩnmulţirea numerelor pe  N, Z, Q, R                   

3. Adunarea matricilor

4. Ĩnmulţirea matricilor

5. xTy=x+y+2 , unde  xєR

6. x*y=xy-5x-5y+30, unde  x,yє[0, 9] 

Proprietăți:

-  asociativitate: (xTy)Tz=xT(yTz), pentru orice x, y, z din M

-  comutativitate: xTy=yTx, pentru orice x, y din M

- element neutru: pentru orice x din M, există e din M astfel încât xTe=eTx=x. Dacă o lege de compoziţie admite element neutru, atunci acesta este unic.

-  element simetric: pentru orice x din M, există x’ din M, astfel încât xT x’= x’Tx=e