Definiție1.2.1: Fie (M,*), MxM ®M, (x,y) ®x*y, M-nevidă. (M,*) este o structură de monoid dacă sunt verificate următoarele axiome:

M1. Asociativitate:  (x*y)*z = x*(y*z) pentru orice x,y,z din M

M2. Element neutru: există  e din M astfel încât x*e = e*x = x, pentru orice x din M

Dacă în plus se verifică și axioma

M3.  Comutativitate: x*y = y*x, pentru orice x,y din M atunci (M,*) are structură de monid comutativ.

Exemple:

E1:  (N,+), (N,*) sunt structuri de monoizi comutativi, unde * are semnificația de îmnulțire. În adevăr, adunarea și înmulțirea numerolor naturale

• sunt asociative: (a+b)+c=a+(b+c), a*(b*c)=(a*b)*c, pentru orice a,b,c din N.
• presupun existența elementului neutru (0 – pentru adunare și 1 – pentru înmulțire)
• sunt comutative a+b=b+a și a*b=b*a, pentru orice a, b din N.

E2: Dacă A este o mulțime nevidă, iar F(A) este mulțimea funcțiilor reale definite pe A, atunci (F(A), ◦) este o structură de monoid necomutativ (operatorul ◦ are semnificația cunoscută de compunere a funcțiilor). În adevăr, compunerea funcțiilor este asociativă și prezintă pe 1_f – funcția identică f(x)=x, ca și element neutru. În schimb, compunerea funcțiilor nu este comutativă.

Definiție1.2.1: Fie (G,*), GxG®G, (x,y) ® x*y, G-nevidă. (G,*) este o structură algebrică de grup dacă se verifică axiomele:

G1. Asociativitate:  (x*y)*z = x*(y*z) pentru orice x,y,z din G

G2. Element neutru: există e din G astfel încât x*e = e*x = x, pentru orice xdin G

G3. Pentru orice  x din G există x’ din G astfel încât x’*x = x*x’ = e

Dacă în plus se verifică și axioma

G4. x*y = y*x, pentru orice x,y din G, grupul este comutativ (sau abelian).

Exemple:

1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)  sunt grupuri comutative. În adevăr sunt verificate toate cele 4 axiome ale grupului comutativ pentru adunarea numerelor întregi, raționale, reale și complexe.

2. (Rn, Å) – grupul comutativ al resturilor modulo n. Verificarea axiomelor grupului comutativ se poate face pe tableta legii de compoziție:

Din tabelă se observă că legea de compoziție internă are proprietățile:

- asociativitate (matricea este simetică față de diagonala principală)

- are ca element neutru pe

- orice element are un simetric (elementul neutru apare o singură dată pe fiecare linie și coloană)

- comutativă (liniile și coloanele cu același număr de ordine sunt identice).

3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z

În adevăr, adunarea matricelor pătratice prezintă următoarele proprietăți:

- asociativitate A+(B+C)=(A+B)+C, pentru orice A, B, C din Mn(Z)

- element neutru față de adunare este matricea nulă (cu toate elementele 0)

- orice matrice A din Mn(Z) este simetrizabilă în raport cu adunarea, elementul simetric fiind –A

4. (K, o) – grupul comutativ al lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate)

Fie  mulțimea simetriilor față de axe, elementele muțimii reprezentând, în ordinea de scriere: sdentitatea (păstrarea poziției unui punct în plan), simetria față de axa Ox, simetria față de axa Oy, simetria față de originea O a axelor de coordonate într-un plan. Putem defini compunerea elementelor lui K prin următoarea tabelă:

Se poate observa că sunt respectate toate cele patru axiome ale grupului comutativ:

-          asociativitatea (simetria față de diagonala principală)

-          elementru neutru (Id)

-          comutativitatea (identitatea liniilor și coloanelor cu același număr de ordine)

-          existență unui element simetric pentru oricare dintre cele patru elemente (elementul însuși, datorită prezenței elementului neutru pe diagonala principală)